ياش ماتېماتىكا ئالىمى 80 يىلدىن بېرى ئالىملارنى قايمۇقتۇرغان مەسىلىنى ھەل قىلدى

تەرجىمىدە مېھرىگۈل

ھەر ئۈچ يىلدا بىر قېتىم باھالىنىدىغان ماتېماتىكا ساھەسىدىكى ئەڭ ئالىي مۇكاپات «كول مۇكاپاتى» (Cole Prize) بۇ يىل تۈپ سان نەزەرىيەسىگە زور تۆھپىلەرنى قوشقان جامېس مېينارد (James Maynard)قا بېرىلدى.

كول مۇكاپاتى ئامېرىكا ماتېماتىكا ئىلمىي جەمئىيىتى تارقاتقان مۇكاپات بولۇپ سانلار نەزەرىيەسى مۇكاپاتى ۋە ئالگېبرا مۇكاپاتى دەپ ئىككى تۈرگە ئايرىلىدۇ. بۇ خەلقئارالىق مۇكاپات ئەمەس. بۇ مۇكاپات پەقەت ئامېرىكا ئىلىي ژۇرناللىرىدا كۆزگە كۆرۈنگەن ياخشى ماقالىلەرنى ئېلان قىلالىغان ئىلمىي جەمئىيەت ئەزالىرىغا تارقىتىلىدىغان مۇكاپات بولۇپ، ماتېماتىكا ساھەسىدىكى ئەڭ ئالىي مۇكاپات بولۇپ ھېسابلىنىدۇ.

جامېس مېينارد توغرىسىدا توختالساق، ئۇ بىر «تالانتلىق ئۆسمۈر». جامېس 22 ياش ۋاقتىدىلا كامبرىچ داشۆسىنىڭ ماگىستىرلىق ئۈنۋانىنى ئالغان. 26 يېشىدا ئوكسفورد ئۇنۋېرسىتىنىڭ دوكتۇرلۇق ئۇنۋانىغا ئېرىشكەن. 33 ياش ۋاقتىدىلا ئوكسفورد ئۇنۋېرسىتىنىڭ تەتقىقات پىروفېسسورى بولغان.
قوشكېزەك تۈپ سانلار قىياسى

كۆپچىلىك «كول مۇكاپاتى» دېگەن سۆزنى ئاڭلىغىنىڭلاردا ناتونۇش ھېس قىلغانسىلەر. مەنمۇ 2014-يىلىغا كەلگەندە ئاندىن بۇ مۇكاپات توغرىسىدا چوڭقۇر چۈشەنچىگە ئىگە بولغان. بۇ مۇكاپات مەندە چوڭقۇر تەسىر قالدۇرغان. چۈنكى ئۇ يىلى بۇ مۇكاپات جۇڭگولۇق ماتېماتىكا ئالىمى جاڭ يىتاڭنىڭ قوشكېزەك تۈپ سانلار نەزەرىيەسىنىڭ ئاجىزلىشىدىغانلىقىنى ئىسپاتلىغانلىقى ئۈچۈن بېرىلگەن. قوشكېزەك تۈپ سانلار نەزەرىيەسى سانلار نەزەرىيەسى ئىلمىدە تېخىچە يېشىلمىگەن داڭلىق مەسىلىلەرنىڭ بىرى. قوشكېزەك تۈپ سانلار دېگىنىمىز ئىككى بىرلىك پەرقلىنىدىغان تۈپ سانلاردۇر. مەسىلەن: 3 بىلەن 5، 5 بىلەن 7، 11 بىلەن 13…… قاتارلىقلار.

بۇلارنى يەنە مۇنداق بايان قىلىشقا، چۈشەندۈرۈشكە بولىدۇ: چەكسىز نۇرغۇنلىغان تۈپ سان P بار دېسەك، ھەربىر Pغا نىسبەتەن P+2 مۇ تۈپ سان بولسا، بۇلار قوشكېزەك تۈپ سانلار دەپ ئاتىلىدۇ. ئاجىزلاشقان قوشكېزەك تۈپ سانلار قىياسى دېگىنىمىز: بارلىق تەبىئىي سان K غا نىسبەتەن، سانسىزلىغان تۈپ سان (P，P+2K）مەۋجۇتتۇر. بۇ يەردە K=1 بولغاندا، بۇ قوشكېزەك تۈپ سانلار نەزەرىيەسى بولىدۇ. تەبىئىي سان K باشقا سانلارغا تەڭ بولغاندا ئاجىزلاشقان تۈپ سانلار نەزەرىيەسى بولىدۇ. تۈپ سان توغرىسىدىكى ھېكايە بۇنىڭدىن 2000 يىللار ئىلگىرىكى چاغلاردىن باشلانغان. قەدىمكى يۇنانلىق ئالىم ئېۋكىلىد تۈپ ساننىڭ چەكسىز كۆپ بولىدىغانلىقىنى ئىسپاتلىغان.

ھەممىمىز كىچىكىمىزدىنلا ماتېماتىكا بىلىملىرىنى ئۆگىنىمىز ھەم ياخشى كۆرىمىز. 100 نىڭ ئىچىدىكى تۈپ سانلارنى بىمالال يادلاپ بېرەلەيمىز:
2،3،5،7،11،13،17،19،23،29،31،37،41،43،47،53،59،61،67،71،73،79،83،89،97

بۇ تۈپ سانلار دەسلەپ قارىماققا بەك زىچ كۆرۈنىدۇ. بىراق ئىنچىكىلىك بىلەن كۆزەتسەك تۈپ سانلار چوڭايغانسېرى سانلارنىڭ ئارلىقىنىڭ يىراقلىشىدىغانلىقىنى بايقىيالايمىز. قوشكېزەك تۈپ سانلارنىڭمۇ ئارىلىقى شۇنىڭغا ئەگىشىپ يىراقلىشىدۇ…..

تۈپ سانلارنىڭ ئارىلىقىنىڭ تەقسىملىنىشى تەرتىپسىز بولىدۇ. ئەگەر چوڭ تۈپ ساندىن بىرەرنى تاپماقچى بولساق، بۇ ساننى ئاجرىتىپ، ئىسپاتلاپ دەلىللەش ئۈچۈن نۇرغۇن ۋاقىت ھەم زېھىن سەرپ قىلىپ ھېسابلاشقا توغرا كېلىدۇ. نەچچە مىڭ يىللاردىن بېرى قوشكېزەك تۈپ سانلار قىياسى ماتېماتىكا ئالىملىرى ھەل قىلالمىغان، بۆسۈپ چىقالمىغان قىيىن مەسىلىلەردىن بولۇپ قالغان. 2013-يىلى 58 ياشقا كىرگەن جاڭ يىتاڭ قوشكېزەك تۈپ سانلارنىڭ چېكى يوق كۆپ ئىكەنلىكىنى، ھەربىر جۈپ قوشكېزەك تۈپ ساننىڭ ئايرىمىسىنىڭ يەتمىش مىليوندىن ئېشىپ كەتمەيدىغانلىقىنى ئوڭۇشلۇق ئىسپاتلاپ چىققان. شۇنىڭ بىلەن قوشكېزەك تۈپ سانلارنىڭ ئارىلىقىنىڭ چەكلىك بولىدىغانلىقىنى ئېنىقلانغان. قوشكېزەك سانلارنىڭ ئارىلىقى چەكسىز بولۇشى مۇمكىن دېگەن قاراشنىڭ خاتالىقىمۇ ئېنىق بولغان.

جاڭ يىتاڭ مۇشۇلارنى ئىسپاتلاش ئارقىلىق سانلار نەزەرىيەسى ساھەسىدىكى ئەڭ ئالىي شەرەپ «كول مۇكاپاتى»غا نائىل بولغان. جاڭ يىتاڭ «قوشكېزەك سانلار قىياسى»نى ئىسپاتلىغاندىن كېيىن ئۇزۇن ئۆتمەي، ئەمدىلا 26 ياشقا كىرگەن جامېس مېراند بۇ «قوشكېزەك تۈپ سانلار قىياسى»دا ئىسپاتلانغان قوشكېزەك تۈپ سانلارنىڭ ئارىلىقى 70 مىليوننى 600 گە چۈشۈرۈپ، جاڭ يىتاڭنىڭ دەلىللەش نەتىجىسىنى زور دەرىجىدە ئىلغارلاشتۇرغان. جامېس مېيناردنىڭ ئىسپاتلاش ئۇسۇلى دۇنياغا كېلىشى بىلەنلا ماتېماتىكا ساھەسىنى زىلزىلىگە سالغان. خىتاي ماتېماتىكا ئالىمى تاۋ جېشۇەن ھەيران بولۇپ خۇرسىنغان ھالدا: «راستىمنى ئېيتسام، ئۇنىڭ بايان قىلىش ئۇسۇلى ئەمەلىيەتتە مېنىڭكىدىنمۇ ئىخچام، ئاددىي ئىكەن. بۇ ئەمەلىيەت ئۇنىڭ ئىسپاتلاش ئۇسۇلىنىڭ تېخىمۇ ياخشى ھەم كۈچلۈك ئىكەنلىكىنى بىلدۈرىدۇ.» دېگەن.

ئەمەلىيەتتە بۇنى ئىسپاتلاش جەريانىمۇ ئۇنچە ئوڭۇشلۇق بولمىغان. جامېس مېينارد ئەسلەپ تۇرۇپ: «خېلى ئۇزۇن بىر مەزگىلگىچە، بىز بۇ مەسىلە ئۈستىدە پۈتۈنلەي ئىلاجسىز قالغانىدۇق. داۋاملىق ئىلگىرلىشىمىز شۇنچىلىك تەسكە توختىغان. ھەرقانداق بىر يېڭى ئۇقۇم، كۆز قاراشلار ئادەمنى ھاياجانغا سالاتتى» دېگەن. بىراق جامېس مېينارد ئەڭ ئاخىرىدا يەنىلا ئىشقا ئاشۇرالىغان. مانا بۇ ماتېماتىكا ئالىمىنىڭ ئىزچىللىقىنىڭ نەتىجىسى بولسا كېرەك. بۇ ياش ئالىمغا چىن دىلىمدىن قايىل بولدۇم.

دېففېن شاففېر Duffin-Schaeffer قىياسى

جامېس مېراند «كول مۇكاپاتى»غا ئېرىشىشتىن بۇرۇن، ئۇ يەنە ماتېماتىكا ساھەسىدە 80 يىلدىن بېرى ھەل بولمىغان بىر مەسىلە_ يەنى Duffin-Schaeffer قىياسىنى ئۇتۇقلۇق ئىسپاتلىغان.

دۈففن شاففېرDuffin-Schaeffer قىياسى: 1941-يىلى فىزىكا ئالىمى Rid Duffin بىلەن ماتېماتىكا ئالىمى Albert Schaeffer ئوتتۇرىغا قويغان. بۇ سانلار نەزەرىيەسى توغرىسىدىكى دۇففىن دىياگراممىسىغا ئەڭ يېقىن كېلىدىغان ھالەتتىكى مۇھىم قىياستۇر. دۇففىن دىياگراممىسىغا ئەڭ يېقىن ھالەت دېگىنىمىز سانلار نەزەرىيەسىنىڭ بىر تارمىقى بولۇپ، راتسىيونال سانلار چەكسىز يېقىنلىشىدىغان ھەقىقىي سانلارنى تەتقىق قىلىدۇ. بۇنى يەنە ئاددىي قىلىپ «كەسىر سان» ھالەتتىكى مەلۇم سانغا چەكسىز يېقىنلاشقانلىقتىن تەخمىنەن ئىپادىلەشكە بولىدۇ دەپ چۈشەنسەك بولىدۇ. مەسىلەن چەمبەر تۇراقلىقى يەنى چەمبەر كوئېففىتسېنتى π بولسا ئىرراتسىيونال سان. بىراق بىز بۇنى تومتاق، ئىخچام قىلىپ 22/7 دەپ ئىپادىلىسەك بولىدۇ. بۇنى ئاددىي كەسىر بىلەن تەخمىنىي ئىپادىلەش دەيمىز.

ئىرراتسىيونال سانلار ئوخشىمايدىغان، تەكرارلانمايدىغان سانلار بىلەن چەكسىز داۋاملىشىدىغان ئونلۇق كەسىر، بۇنى ئاددىي كەسىر بىلەن پۈتۈنلەي توغرا ئىپادىلىگىلى بولمايدۇ. بەزى مۇھىم بولغان ئىرراتسىيونال سانلارنىڭ مەخسۇس بەلگىسى بار. بۇلار ئادەتتە شۇ ھەرپلەر بىلەنلا ئىپادىلىنىدۇ. مەسىلەن چەمبەر كوئېففىتسېنتى π، ماتېماتىكىدىكى تۇراقلىق سان e ۋە √2 قاتارلىقلار. بۇنىڭدىن باشقا تېخىمۇ كۆپ ئىرراتسىيونال سانلارنى نامسىز شەكىلدە چېچىلىپ تۇرىدۇ. ئۇنداقتا شۇنىڭغا ئوخشاش ئىرراتسىيونال سانلارنىمۇ شۇ سانغا يېقىن كېلىدىغان ئاددىي كەسىر بىلەن ئىپادىلىگىلى بولامدۇ-يوق؟ تېخىمۇ چەكسىز يېقىنلاشقان ھالەتتە، تېخىمۇ توغرا قىلىپ ئىپادىلىگىلى بولامدۇ؟ شۇنىڭ بىلەن بۇ مەسىلىنىڭ يۆنىلىشى ئۆزگىرىدۇ. پۈتۈنلەي توغرا ئىپادىلىگىلى بولمىسا، ئۇنداقتا زادى قانچىلىك دەرىجىدە توغرا ھەم ئېنىق ئىپادىلىگىلى بولىدۇ؟ جامېس مېراند ئۆزى ۋە ھەمراھلىرىنىڭ مۇشۇلارنى ئىسپاتلاش توغرىسىدىكى ئىلمىي ماقالىسىدە، بۇ قىياسىنى بايان قىلىپ مۇنداق دېگەن:

« بىر ئاددىي ھۆكۈم قىلىش شەرتى مەۋجۇت. بۇنىڭ بىلەن ئاساسەن بارلىق سانلارنىڭ تەخمىنىي قىممىتىنى تاپقىلى بولىدىغانلىقىغا ياكى ھېچقانداق ساننىڭ تەخمىنىي قىممىتىنى تاپقىلى بولمايدىغانلىقىغا ھۆكۈم قىلغىلى بولىدۇ.»

ئوكسفورد ئۇنۋېرسىتىدىن كەلگەن بېن گرېن پىروفېسسور بۇ مەسىلە ئۈستىدە توختالغاندا مۇنداق دېگەن:

«چەمبەر تۇراقلىقىغا ئېنىقلىما بېرىش تولىمۇ قېيىن. كىشىلەر ئادەتتە بۇنىڭ ئورنىغا يېقىن كېلىدىغان تەخمىنىي قىممىتىنى قوللىنىدۇ. دائىم ئۇچرايدىغان ئۇسۇللارنىڭ بىرى بولسا يېقىن كېلىدىغان راتسىيونال سان بىلەن تەخمىنىي قىممىتىنى ئىپادىلەشتۇر.»

نەچچە مىڭ يىللاردىن بۇيان ماتېماتىكا ئالىملىرى بۇنىڭ ئۈچۈن كۆپ كاللا قاتۇرۇپ توختىماستىن ھېسابلاشلار ئارقىلىق بۇ سانغا يېقىنلىشىدىغان سانلارنى تېپىش ئۈچۈن تىرىشقان:

1913-يىلى راما نۇجىن ئۆزىنىڭ قوليازمىسىدا 355/113نى چەمبەر تۇراقلىقى πنىڭ ئورنىدا ئىشلەتكەن.

ئەگەر خاتالىق پەرقىنىڭ چوڭ-كىچىكلىگە تەلەپ ئانچە يۇقىرى بولمىغان ئەھۋال ئاستىدا تەخمىنىي قىممەتنى تېپىش ئوڭاي. بىراق ماتېماتىكا ئالىملىرى ئۆزىنىڭ قىزىقىشىدا زىيادە چىڭ تۇرىدۇ، ئىزچىللىقى بەك يۇقىرى. شۇڭا ئۇلار خاتالىق پەرقىنى كىچىكلىتىش ئۈچۈن توختىماستىن ئىزدىنىدۇ.
1837-يىلى ماتېماتىكا ئالىمى دلىكىرې ئىرراتسىيونال سانلارنى راتسىيونال سانلار بىلەن تەخمىنىي ئىپادىلىگەندىكى خاتالىق پەرقى قانۇنىيىتىنى بايقىغان: ھەربىر ئىرراتسىيونال سانغا نىسبەتەن ئۇنى تېخىمۇ ئېنىق، توغرا قىلىپ تەخمىنىي ئىپادىلىگىلى بولىدىغان ئاددىي كەسىرلەرنىڭ سانىنىڭ چېكى يوقتۇر.
بۇنى يەنە باشقىچە دېسەك: تەخمىنىي ئىپادىلەشكە ئىشلىتىلگەن ئاددىي كەسىر بىلەن ئەسلى ئىرراتسىيونال سان ئوتتۇرىسىدىكى خاتالىق پەرقى 1نى ئاددىي كەسىرنىڭ مەخرىجىنىڭ كۋادراتىغا بۆلگەندىكى نەتىجىدىن ئېشىپ كەتمىسە، مەخرەجنىڭ چوڭىيىشىغا ئەگىىشپ، قىممىتى πگە بارغانسېرى يېقىنلىشىدىغان ئاددىي كەسىرلەرنىڭ سانى چەكسىزدۇر.

مىسال ئالساق تېخىمۇ چۈشىنىشلىك بولىدۇ. مەسىلەن:

22/7 بىلەن π نىڭ ئوتتۇرىسدىكى خاتالىق پەرقى 49 /1 غا يەتمەيدۇ. (مەخرەج 7نىڭ كۋادراتى 49)
335/11 بىلەن π نىڭ ئوتتۇرىسىدىكى خاتالىق پەرقى 1/12769 غا يەتمەيدۇ. (11نىڭ كۋادراتى 12769)

جامېس مېينارد قوشۇنى Duffin-Schaeffer قىياسىنى ئىسپاتلاشتا يېڭىچە ئىسپاتلاش ئۇسۇلىنى تاللىغان. چەكسىز ئۇزۇلۇقتىكى پۈتۈن سان سانلار ئارقىمۇ-ئارقىلىقىنى تاللىغان. بۇ سانلار ئارقىمۇ-ئارقىلىقى سىز خالىغان ھەرقانداق بىر پۈتۈن ساننى ئۆز ئىچىگە ئالغان بولۇپ، بۇلار مەخرەج بولىدۇ.
سان ئوقىدىكى ھەرقانداق بىر بۆلەكتە سانسىزلىغان ئىرراتسىيونال سانلار مەۋجۇت. بۇنى ئىپادىلەشتە سانلار ئارقىمۇ-ئارقىلىقى ئۈستىدىكى ھەرقانداق بىر سان بىلەن خاتالىق پەرقى قىممىتىنى ئىپادىلەشكە بولىدۇ.

بۇنى مىسال ئېلىپ چۈشەندۈرسەك تېخىمۇ چۈشىنىشلىك بولىدۇ. مەسىلەن:

مەخرەجنى 3 دەپ بېكىتكەن چاغدىكى ئاددىي كەسىرنىڭ خاتالىق پەرقى 0.02 بولىدۇ ياكى مەخرەج 5 بولغان چاغدا ئاددىي كەسىرنىڭ خاتالىق پەرقى 0.01 بولىدۇ دەپ تەلەپ قىلىشقا ياكى يول قويۇشقا بولىدۇ.

خاتالىق پەرقى قىممىتىنى بېكىتكەندىن كېيىن، ئەگەر خاتالىق پەرقى پۈتۈن سان ئوقىنى قاپلىسا، ئۇنداقتا بارلىق ئىرراتسىيونال ساننى مۇشۇ ساننى مەخرەج قىلغان ئاددىي كەسىر بىلەن تەخمىنىي ئىپادىلىگىلى بولىدۇ. ئەگەر تاللىغان ئاددىي كەسىر توپى ئۆزئارا بەك يېقىن بولسا، خاتالىق پەرقى بۆلىكىنىڭ تەكرارلانغان ئوخشاش قىسمى كۆپ بولسا، بۇ يەنە نۇرغۇن ئىرراتسىيونال سانلارنى ئىپادىلىگىلى بولمايدىغانلىقىدىن دېرەك بېرىدۇ.

دۈفاېن شاففېر Duffin-Schaeffer قىياسىدا مۇنداق بىر مۇھىم ھالقىلىق نۇقتا بار:

كىچىك ئورتاق كۆپەيتكۈچىسى كۆپ بولغان بىر گۇرۇپپا مەخرەجگە نىسبەتەن، ئۇلار تەخمىنىي ئىپادىلىيەلەيدىغان ئىرراتسىيونال سانلار توپى ئوتتۇرىسىدىكى تەكرارلىنىدىغان ئوخشاش قىسمىنى توغرا ئۆلچىگىلى، بىلگىلى بولىدىغان ئۇسۇلنى تېپىشتۇر. بۇمۇ بۇ قىياسنىڭ 80 يىلدىن بېرى ماتېماتىكا ئالىملىرىنى قايمۇقتۇرغان، قىيىن ئەھۋالدا قويغانلىقىنىڭ سەۋەبى. ھازىر جامېس بىلەن ئۇنىڭ ھەمراھلىرى يېڭىچە ئۇسۇلنى قوللىنىپ بۇ مەسىلىنى ھەل قىلدى.
جامېس مېيناردنىڭ سانلارغا بولغان قىزغىن مۇھەببىتى ئادەتتىن تاشقىرى كۈچلۈك. ئۇنىڭ نەزىرىدە، ئىرراتسىيونال ساندىكى ئونلۇق كەسىر چىكىتىنىڭ كەينىدىكى قاتار-قاتار سانلار خۇددى كىچىك، ئوماق ھايۋانلارغىلا ئوخشايدۇ، ئونلۇق كەسىر چىكىتى بولسا قەپەسكە ئوخشاش، شۇ سانلارنى تۇتۇپ قاماپ تۇرىدۇ.

ئۇ: «مەن تولىمۇ تەلەيلىك. شۇنچە كۆپ قوللاش ۋە ئىلھام بېرىشلەرگە ئېرىشتىم. كىچىكىمدىن تارتىپلا ماتېماتىكىغا قويۇق قىزىقىشىم بار ئىدى. ئاتا-ئاناممۇ قىزىقىشىم بويىچە ئىش قىلىشىمنى قوللايتتى. ئوقۇتقۇچۇممۇ ئۆزۈمنىڭ ئۆزگىچە ئۇسلۇبىمنى تەرەققىي قىلدۇرۇشۇمغا يول قوياتتى» دېگەن. ئۇنىڭدىكى سانلارغا بولغان تۇغما سەزگۈرلۈكى ئۇنى ماتېماتىكا ساھەسىدە نۇر چېچىشىغا زور تۈرتكە بولغان.

2014-يىلى جامېس مېينارد SASTRA راما نۇجىن مۇكاپاتىغا ئېرىشكەن.
2015-يىلى لوندون ماتېماتىكا ئىلمىي جەمئىيتىنىڭ ۋايتخەد مۇكاپاتىغا ئېرىشكەن.
2016-يىلى ياۋروپا ماتېماتىكا ئىلمىي جەمئىيىتى مۇكاپاتىغا ئېرىشكەن.
2014-يىلدىن 2016-يىلغىچە بولغان ئارىلىقتا Compositio مۇكاپاتىغا ئېرىشكەن.
2018-يىلى خەلقئارالىق ماتېماتىكا ئالىملىرى چوڭ يېغىنىدا ئەزىز مېھمانلار قاتارىدا نۇتۇق سۆزلىگەن.
2020-يىلى ئامېرىكا كول مۇكاپاتىغا ئېرىشكەن.

سانلار نەزەرىيەسى ئىزچىل تۈردە تولىمۇ زېرىكىشلىك، ھەم ئەمەلىي قوللىنىشچانلىقى كەمچىل دەپ قارىلىپ كەلگەچكە، ماتېماتىكا ئىچىدىكى ئانچە قارشى ئېلىنمايدىغان سوغۇق پەنلەردىن ھېسابلىناتتى.

جامېس مېينارد بۇ سانلار توغرىسىدا ئېغىز ئاچقاندا، ئۇنىڭ كۆزلىرىدىن باشقىچە ئىشەنچ ۋە پارلاق نۇر چاقناپ تۇراتتى. ئۇ ئۆزىنىڭ كول مۇكاپاتىغا ئېرىشكەنلىكىنى بىلگەندىن كېيىن، ئىنكاس قايتۇرۇپ مۇنداق دېگەن: «ئانالىتىك سانلار نەزەرىيەسى توغرىسىدا كۆپ كىشىلەرنىڭ يېڭىچە ئوي-پىكىرلەرنى ئوتتۇرىغا قويغانلىقىدىن تولىمۇ ھاياجانلاندىم ھەم خۇش بولدۇم. بۇ مۇكاپاتنىڭ تېخىمۇ كۆپ ماتېماتىكا ئالىملىرىنىڭ تىرىشچانلىقىنى، قىزىقىشىنى داۋاملىق ساقلىشىغا تۈرتكە بولىشىنى ھەمدە تۈپ سانلار توغرىسىدا تېخىمۇ كۆپ نەرسىلەرنى بايقىشىنى ئۈمىد قىلىمەن.»